Por que a multiplicação de números com sinais iguais resulta num número positivo e de sinais diferentes num negativo?

Multiplicar números de sinais contrários sempre nos leva para o lado esquerdo do zero, ou seja, para resultados negativos. Se multiplicarmos números de sinais iguais, mesmo que estejamos à esquerda do zero, vamos procurar o oposto, que estará do lado direito.

Ilustração: Erika Onodera

A confusão com a regra dos sinais surge da atribuição de um sentido ao resultado negativo. Afinal, contar duas ovelhas é fácil, mas como explicar "menos duas ovelhas"? Os números negativos já foram denominados falsos, absurdos e fictícios pelos matemáticos, pois não era fácil vinculá-los a um objeto ou a uma situação simples como a enumeração. No século 18, usando a reta numerada, com números à direita e à esquerda do zero, isso foi resolvido: ficou claro que um número menor que zero, portanto negativo, está localizado à esquerda dele, e os positivos, à direita. Um número negativo é, portanto, oposto ao positivo. Logo, calcular -5 +3 é o mesmo que sair do zero, andar cinco casas à esquerda e, depois, percorrer mais três à direita, resultando -2. Já no caso de -2 X +3, saímos do zero e andamos duas casas à esquerda por três vezes, chegando ao -6. Finalmente, quando fazemos -2 X -3, estamos tentando descobrir o produto de dois números opostos. Nesse caso, ao negar uma negação, temos uma afirmação: o resultado, 6, necessariamente é positivo.

Fonte: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-numeros-sinais-iguais-resulta-num-numero-positivo-sinais-diferentes-num-negativo-502930.shtml