Já parou para pensar sobre o funcionamento e a durabilidade das escadas rolantes e das esteiras de bagagens nos aeroportos e até mesmo sobre a composição de Bach Oferenda Musical? Qual a relação entre esses três exemplos???
O segredo se baseia na Fita de Möbius...

A Matemática da Beleza e do Mistério

Não é preciso muito para se deixar envolver e seduzir pela beleza e harmonia da figura ao lado. Sua forma incorpora um certo ar de mistério que não deixa de nos desafiar, ainda que num primeiro momento não saibamos muito bem por que. O fato é que somos convidados a pôr em ação a nossa capacidade de investigação e compreensão. Afinal de contas, o que é que faz com que essa figura nos pareça tão intrigante? Diante dela é impossível permanecermos indiferentes.

Imagine que você fosse uma formiguinha e que estivesse andando sobre uma fita dobrada, um pouco torcida, e com as duas extremidades coladas. Agora, você como uma formiguinha, poderia andar no lado externo e interno dessa fita sem precisar atravessar nenhum tipo de furo ou transpor sua borda. Você pode não ser uma formiguinha de verdade, mas a tal fita existe e é chamada faixa de Moebius.
A faixa de Moebius é um tipo especial de superfície onde não há lado de dentro ou de fora, ou seja, nela só há um lado e uma única borda que é uma curva fechada. A tal faixa foi descoberta pelo astrônomo e matemático alemão August Ferdinand Moebius (1790-1868).

Para construir a faixa é necessária uma faixa retangular de papel. Quando unimos as suas duas extremidades sem torcê-la formaremos um anel onde teremos um lado de dentro e de fora. Porém, se antes de unirmos as bodas, dermos uma pequena torção na faixa – meio giro ou 180º - teremos construído a faixa de Moebius. Observe como você deve unir as bordas da faixa retangular para formar a faixa de Moebius.

Na Matemática, a faixa de Moebius é um exemplo que chamamos de superfícies não-orientáveis e seu estudo deu origem a um ramo da Matemática que chamamos de Topologia. A Topologia estuda os espaços topológicos e é considerada uma extensão da geometria.

A faixa de Moebius inspirou o artista holandês Mauritus Cornelis Escher (1898-1972) em vários trabalhos que ficaram mundialmente conhecidos. A figura acima, com as formigas, é um dos seus trabalhos.

Alguns artistas ainda se inspiram no faixa de Moebius. Observe a poltrona abaixo desenhada pelo designer Roque Frizzo.

O Matemático e Astrônomo alemão August Ferdinand Möbius (1790-1868), esse simpático senhor da figura ao lado, estudou esse objeto em 1858 motivado por um concurso promovido pela Academia de Ciências de Paris que, na época, estava estimulando o estudo da teoria geométrica dos poliedros, sólidos geométricos cujas superfícies são compostas por um número finito de faces. O objeto acabou ficando popularmente conhecido como “Fita de Möbius“.

Mas ele não foi o único a estudá-lo. O Matemático e Arquiteto alemão que você vê na figura ao lado, Johann Benedict Listing (1808-1882), também se debruçou sobre esse objeto. Aliás, alguns meses antes de Möbius. Embora o objeto seja conhecido pelo nome de Möbius, resolvi nomeá-lo aqui de “Fita de Listing-Möbius“, por me parecer mais justo. É curioso observar que ambos estudaram com Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), outro matemático e astrônomo alemão, conhecido como o príncipe dos matemáticos e um dos maiores gênios da história da matemática. Em breve falaremos sobre ele aqui neste blog.

A.F. Möbius e J.B.Listing foram os precursores da Topologia, um ramo da Matemática iniciado em meados do século XIX como um desenvolvimento da Geometria e focado no estudo dos espaços topológicos, cujo interesse é compreender as propriedades de figuras geométricas que resistem a deformações de tal ordem que todas as suas propriedades métricas e projetivas são perdidas.

Encontrar a solução matemática para a forma assumida pela “Fita de Listing-Möbius” tornou-se, no século XX, um problema clássico entre especialistas. Para os que tiverem interesse em aprofundar o tema do ponto de vista técnico, sugiro duas referências: “Mathematics: “Around the Möbius Band” de John H.Maddocks e “The Shape of a Möbius Strip“, de E.L.Starostin e G.H.M.Van Der Heijden. Estes dois últimos autores derivaram um conjunto de equações diferenciais que provêem uma solução numérica para a predição da forma da Fita de Listing-Möbius.

Segundo Starostin e Van Der Heijden “É justo dizer que a Fita de Möbius é um dos poucos ícones da matemática que tem sido absorvidos em uma cultura mais ampla“. De fato, você a encontrará no mundo das Artes Plásticas, da Música, da Arquitetura, da Literatura, do Desenho de Moda, de jóias, de roupas e até da Psicanálise. Isso mesmo! A Fita de Möbius ganhou destaque no mundo da Psicanálise com o francês Jacques-Marie Émile Lacan (1901-1981), que a utilizou como modelo de representação de nossa psiquê.

Parece infinito…não é mesmo? Infinito? Mas não é que a “Fita de Listing-Möbius” nos remete mesmo ao infinito?

“Que não seja imortal, posto que é chama,

mas que seja infinito enquanto dure”.

Vinícius de Moraes .

Möbius estudou este objeto em 1858 tendo em vista a obtenção de um prêmio da Academia de Paris sobre a teoria geométrica dos poliedros. Johann Benedict Listing já tinha trabalhado sobre o mesmo objecto uns meses antes. A importância do estudo deste objecto nesta época prendia-se com a noção de orientabilidade, que não era ainda bem compreendida. O facto de tanto Möbius como Listing terem estudado alguns anos antes com Carl Friedrich Gauss sugere que a gênese destas ideias poderá ter vindo deste matemático.

Neste estudo, Möbius introduziu também a noção de triangulação no estudo de objectos geométricos do ponto de vista topológico. Möbius apenas publicou o seu trabalho em 1865, num artigo intitulado Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyëders.

Construindo a Fita de Listing-Möbius

A figura é obtida pela união das duas extremidades de uma fita, após efetuarmos uma meia volta em uma delas. Você mesmo pode construir uma.Vamos lá!

Pegue uma fita de papel, digamos de 3cm de largura x 30cm de comprimento. Agora, tente unir as duas extremidades da fita, tomando o cuidado de efetuar uma meia volta (um giro de 180 graus) em uma delas. Você deve ter percebido que se não tivesse dado a meia volta em uma das extremidades antes de uní-las você obteria um simples anel cilíndrico. O desenho ao lado pode auxiliá-lo. Procure se familiarizar um pouco com a figura obtida. Admire-a! Explore-a! Brinque com ela! Satisfaça a sua curiosidade!

Observando-a com atenção você perceberá que ela não tem o que normalmente chamamos lado interior ou exterior. Incrível, mas é isso mesmo! Ela tem uma única superfície! Ao caminharmos sobre ela e voltarmos ao ponto original de partida nos encontraremos em uma posição que é uma imagem espelhada de onde estávamos. Trata-se de uma propriedade topológica, para usar um termo técnico da matemática, característica das chamadas superfícies não-orientáveis, ou seja, superfícies onde não é possível definir um “interior” e um “exterior”. Nesse tipo de superfície, linhas perpendiculares (normais) ao plano por ela definido não têm a mesma direção em todos os seus pontos.

O enigma de US$ 1 milhão
Edição 144 - Jul/03

Alexandre Camanho

Cérebro privilegiado
Poincaré dominava toda a matemática de seu tempo, e fez contribuições para outras áreas do conhecimento

Um problema matemático que está prestes a completar um século de idade pode finalmente ter sido resolvido. A resposta para esse enigma - a Conjectura de Poincaré - vale US$ 1 milhão, e o felizardo que parece ter achado a resposta é o pesquisador russo Grigori Perelman. Para receber o prêmio milionário - um dos sete oferecidos pelo Instituto Clay, dos EUA -, a resposta proposta pelo matemático precisa sobreviver à análise detalhada de outros especialistas, que ainda têm vários meses para tentar refutá-la.

O problema foi enunciado em 1904 pelo francês Jules Henri Poincaré (1854-1912), um estudioso da topologia algébrica, ramo da matemática que trata das propriedades geométricas que não mudam em um objeto caso ele seja deformado (veja quadro abaixo). Sua conjectura diz basicamente que "qualquer superfície simplesmente conexa pode ser deformada e virar uma esfera". Uma superfície simplesmente conexa não tem buracos. É o caso de uma esfera, mas não o de uma argola.

Isso fica mais fácil de entender com um exemplo prático. Quando esticamos um pequeno elástico circular em volta de uma maçã (esfera), podemos movê-lo aos poucos, diminuindo sua circunferência, sem que ele desgrude da maçã, até que se torne um ponto. Contudo, o mesmo não pode ser feito se esticarmos o elástico ao redor de uma rosquinha, pois o buraco dela impediria que fizéssemos isso sem o elástico desgrudar da rosquinha. Isso pode ser fácil de mostrar lambuzando as mãos em rosquinhas. Mas até agora ninguém conseguiu uma prova matemática para a conjectura, nem contra nem a favor.

Poincaré foi um estudiosos de várias áreas da ciência. Formou-se engenheiro e depois se tornou o que se considera o último universalista - dominou praticamente todas as áreas da matemática. Deixou contribuições também para a física, astronomia, filosofia e foi também um divulgador científico. Sua conjectura já foi estudada em todo o mundo e foram inúmeras as tentativas infrutíferas de prova, até o surgimento do trabalho de Perelman. E ele afirma que o palpite de Poincaré estava certo. Uma conjectura matemática é como um "palpite" ainda não provado verdadeiro ou falso. Se houver reconhecimento da prova, a conjectura passa a ser um teorema.

O enigma de Poincaré já foi resolvido para superfícies de dimensões maiores e menores do que três. Mas ainda não foi resolvido para superfícies de dimensão três. "A conjectura merece toda essa atenção porque mexe com a nossa natureza", conta Rui Almeida, professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP, que estuda o problema há 15 anos. "Vivemos no mundo tridimensional e quando trabalhamos com esse espaço 3D, podemos explicar a natureza do Universo." Daí vem o interesse também dos físicos pela prova dessa conjectura. Mas Poincaré já tinha acertado um outro palpite. "Isso vai tomar muito tempo", disse o francês quando bolou seu famoso problema.

Como os matemáticos da topologia vêem o mundo

Pelas regras da topologia, podemos deformar um objeto (esticar ou comprimir mas não fazer cortes ou remendos) e as propriedades geométricas serão constantes. Então uma rosquinha pode ser transformada em uma xícara de café. O buraco da rosquinha se transforma no buraco da asa da xícara de café.

Exercícios:

I) Seguindo este raciocínio, relacione as figuras numeradas com as três marcadas com letras.

II) O número de faces de um objeto é outro tópico importante no estudo da topologia.
A fita circular do desenho abaixo tem duas faces: a interna e a externa.

Se cortarmos a fita à esquerda, torcermos uma das extremidades 180 graus na vertical e a emendarmos com a outra extremidade novamente ela se torna uma fita de Moebius (abaixo), nome dado em homenagem ao matemático alemão August Ferdinando Moebius (1790-1868) que estudou este objeto.

Quantas faces tem uma fita de Moebius?

Ilustrações: Daniel das Neves

Respostas:

I)
a) com 4) e 5)
b) com 1) e 2)
c) com 3)

II) Uma só face. Se com um lápis traçarmos uma linha a partir de qualquer ponto ao longo da fita, ela se fechará em si mesma.

"Uma fita sem pontas está cortada longitudinalmente. Ambas as partes estão um pouco separadas, de maneira que, em toda a extensão, há entre elas um espaço intermédio. Na verdade, a fita teria de desfazer-se em dois círculos isolados, mas consiste, no entanto, numa só tira. É formada por três peixes, abocanhando-se cada um deles na barbatana caudal do seguinte. Eles percorrem duas vezes a roda, antes de novamente alcançarem o seu ponto de partida."

(Escher, 1994, p.12)

Filme:

Sinopse e detalhes

Grégory Lioubov (Jean Dujardin) é um agente secreto que trabalha para o governo russo. Ele é enviado a Mônaco para investigar as ações sigilosas de um poderoso empresário. Alice (Cécile de France), uma especialista das finanças, é contratada para integrar a equipe e se infiltrar no local, mas Grégory começa a suspeitar que ela está trabalhando para o inimigo. Ele precisa então se aproximar dela e conhecê-la melhor. Os dois acabam se envolvendo em uma paixão perigosa, capaz de destruir a carreira de ambos.

-----------------------------------------------------------

Conhecendo mais um pouco...

Escher - Um artista Singular

Maurits Cornelis Escher nasceu em 1898, em Leeuwaden, sendo o filho mais novo do Engenheiro hidráulico G.A.Escher.

Aos 13 anos, Escher ingressou numa escola secundária em Arheim. Foi considerado um péssimo aluno e sendo reprovado duas vezes pelos professores. Em 1919, Escher foi para Haalem, com intuito de estudar na Escola de Arquitetura e Artes Decorativas sob orientação do arquiteto Vorrick, porém o seu estudo de arquitura não durou muito tempo. Samuel Jesserun de Mesquita, um professor que ensinava técnicas de gravura artística, verificou o talento do aluno e convenceu com que ele mudasse para o curso de Artes Decorativas, Mesquita tornou-se o professor principal de Escher durante os primeiros anos.

Até princípios de 1944, quando Mesquita, juntamente com sua mulher e o filho, foi preso e assassinado pelos alemães nos campos de concentração, Escher manteve-se em contato com seu professor.
Durante a sua estadia na Itália, no peíodo de 1922 a 1935, Escher desenvolveu suas primeiras xilogravuras das paisagens pitorescas da Itália. Casou-se com a jovem Jetta Umiker durante uma das viagens para sul da Itália, com quem teve três filhos. Em 1935, o clima político na Itália tornou-se impossível para Escher, desinteressado em questões políticos, mudaram-se para Chateaux-d'Oex, na Suíça. A estadia nesse lugar foi de apenas dois anos.

Em 1937, a família mudou-se para Ukkel, na Bélgica. Quando a guerra começou, tornou-se psicologicamente difícil viver na Bélgica para alguém de origem holandesa, pois muitos belgas tentaram fugir para o sul da França e entre os que ficavam crescia um surdo ressentimento contra os estrangeiroa que desgastavam os já decrescentes provisões alimentícios. Em janeiro de 1941, Escher mudou-se para Beern, na Holanda. Foi lá onde o artista teve o sossego de desenvolver seus trabalhos mais ricos da sua carreira artística. Em 1962 submeteu a uma grave operação por causa de uma doença, daí em diante produziu poucas obras. Em 1970, mudou-se para a Casa-de-Rosa-Spier em Laren, uma casa onde os artistas idosos podiam ter os seus próprios estúdios e serem cuidados, ali faleceu em 27 de março de 1972.

Referências:
http://www.adorocinema.com/filmes/filme-197303/
http://conceitoaronaldo.blogspot.com.br/2009/01/o-que-uma-fita-de-moebius.html?m=1
http://revistagalileu.globo.com/EditoraGlobo/componentes/article/edg_article_print/1,3916,560640-2680-1,00.html
http://www.bancodedadosvisual.hpg.ig.com.br
http://www.experimentum.org/blog/?tag=fita-de-mobius

Vídeo Portugal